الرئيسية - السلاسل التعليمية - علوم الالكترونيات - أسس المنطق الرّقمي: الجبر البولياني Boolean Algebra

أسس المنطق الرّقمي: الجبر البولياني Boolean Algebra

لنبدأ كلامنا عن المنطق الرقمي بهذه الحقيقة العلمية: الصناعة التقنية الحالية، والأجهزة الحاسوبية التي نستخدمها اليوم – على مختلف أنواعها – وكافة التقنيات المعقدة التي يستخدمها العلماء في أبحاثهم ودراساتهم، تعتمد جميعها على مبدأ بسيط واحد، وهو تمثيل المعلومات باستخدام عددين، هما الصفر (0) والواحد (1). هذين العددين، هما الأساس في كل ما يتعلق بالحواسيب، والدارات المتكاملة، وكل أشكال المعلومات، من صورٍ لفيديوهات لنصوص لبرامج وتطبيقات وغيرها، ليست سوى أشكال متنوعة لسلاسل طويلة من الأصفار والواحدات.

الكلام السابق يتطلب التوضيح، وهو ما نود القيام به عبر هذا المقال، الذي سنخصصه للحديث عن أسس المنطق الرقمي، وعلاقته بالإلكترونيات الرقمية، والدارات المتكاملة، والمعالجات الحاسوبية، وكافة المظاهر التقنية الحديثة التي نستخدمها بحياتنا اليومية، ربما بدون أن نعرف كيف تعمل بشكلٍ فعليّ.

جبر بول: طريقةٌ أخرى للتعامل مع المعلومات

قبل الحديث عن العناصر الإلكترونية الرقمية وكيفية عملها، وكيفية قيامها بمعالجة المعلومات والبيانات، علينا أن نسلط الضوء على أحد الفروع الهامة في الرياضيات، وهي “الجبر البولياني Boolean Algebra”.

تاريخياً، فإن الجبر البولياني قد تم ابتكاره عبر عالم الرياضيات البريطاني “جورج بول George Boole”، وقد قدمه للمرة الأولى في كتابه التحليل الرياضي للمنطق The Mathematical Analysis of Logic” والذي صدر عام 1847. في عام 1854، قام جورج بول بتقديم أسس الجبر البولياني بشكلٍ واسع في كتابه الأشهر “دراسة في قوانين التفكير An Investigation of the Laws of Thought”.

B88BqEpIQAIr2kh.jpg large

عالم الرياضيات الإنجليزي جورج بول (1815-1864) الذي يعود إليه الفضل في وضع الأسس الرياضية للمنطق المستخدم في توصيف أنظمة العد الثنائية وعمل البوابات المنطقية الأساسية، وبالتالي أساس المنطق الحاسوبي الحديث.

ومن الاسم، فإن الجبر البولياني هو أحد فروع علم الجبر في الرياضيات، ولكنه بخلاف الجبر الاعتيادي، فإنه يفترض تواجد المتحولات الرياضية ضمن ما يعرف بـ “قيم الحقيقة Truth Values” وهي: القيمة الحقيقية True، القيمة الخاطئة False. بالتالي، فإن كل الأرقام والأعداد التي يتم التعامل معها في الجبر العادي، تتحول في الجبر البولياني لتركيباتٍ من الحالات الحقيقية Truth والخاطئة False. لسهولة التعامل، تم إسناد قيمة “1” للحالة الصحيحة، وقيمة “0” للحالة الخاطئة. وبالتالي، فإن أساس الجبر البولياني هو التعامل مع كافة المعطيات استناداً لقيمتين مرجعيتين: 0 و 1.

الاختلاف الآخر الذي يميز الجبر البولياني عن الجبر العادي هو العمليات الرياضية، ففي حين أن الجبر العادي يعتبر أن العمليات الأساسية فيه هي الجمع والطرح والضرب والقسمة، تعتبر العمليات الأساسية في الجبر البولياني هي: عملية الاقتران Conjunction، وعملية الفصل-اللااقتران Disjunction، وعملية النفي Negation. إذاً، فإن أساس الجبر البولياني هو قيمتين تدعيان بقيم الحقيقة، وثلاثة عمليات رياضية أخرى.

القيم المنطقية والعمليات الأساسية

لاحقاً، أصبحت القيم المنطقية التابعة للجبر البولياني تعرف باسم “الأرقام الثنائية Binary Digit” أو اختصاراً “بت-bit”. كما أن العمليات الأساسية أصبحت تعرف بـ:

1- عملية الاقتران Conjunction: أو عملية الضرب المنطقي AND
2- عملية الفصل – اللااقتران Disjunction: أو عملية الجمع المنطقي OR
3- عملية النفي Negation: أي النفي المنطقي NOT

الآن لنفرض أنه يوجد لدينا متحولين، (x) و (y)، وليكن كل منهما مُتحوّل منطقي تابع لجبر بول، فإن كل من المتحولين يمكن أن يأخذ أحد قيمتين، الصفر أو الواحد. يتم تعريف عملية الضرب المنطقي AND بشكلٍ مشابه لعملية “التقاطع” الجبرية، أي أن ناتج عملية الضرب المنطقي هو كافة القيم المشتركة بين المتحولين. فإذا فرضنا أن المتحول (x) قيمته هي (0) والمتحول (y) قيمة هي (1)، فإن ناتج عملية الضرب المنطقي لهما ستكون (0)، لعدم وجود أي قيمة مشتركة بينهما، ويكون ناتج الضرب المنطقي لهما مساوياً للواحد في حالة واحدة فقط، وهي إذا كانت قيمتيهما معاً تساوي الواحد. بالنسبة لعملية الجمع المنطقي OR، فهي العملية التي تكافئ عملية “الاجتماع” الجبرية، أي أن ناتج عملية الجمع المنطقي هو كافة القيم المشتركة وغير المشتركة بين المتحولين، وبالتالي إذا كانت قيمة المتحول (x) هي (0) وقيمة المتحول (y) هي (1)، فإن ناتج عملية الجمع المنطقي بينهما ستكون (1)، وليس (0). أخيراً، فإن عملية النفي المنطقي تعني أمر واحد بسيط: إذا كانت قيمة المتحول (x) هي (0) فإن ناتج تطبيق عملية النفي المنطقي عليه ستكون (1)، أي أن عملية النفي المنطقي تؤدي للحصول على النتيجة المعاكسة لقيمة المتحول نفسه.

يمكن تلخيص نتائج الكلام السابق وفقاً للجدول التالي، الذي يبين العمليات المنطقية الأساسية ورموزها، ونتائج تطبيقها على المتحولين (x) و (y) :

Boolean-Operations-4electron

الشكل (1) – العمليات المنطقية الأساسية في جبر بول ورموزها

هنالك ملاحظة هامة تتعلق بالعمليات الأولية المتعلقة بالجبر البولياني، وهي تتعلق برموز العمليات، فمعظم الكتب والمراجع الأكاديمية لا تستخدم الرموز الموجودة هنا، بل تستخدم نفس رموز الجبر العادي، أي إشارة ( . ) للإشارة لعملية الضرب المنطقي، وإشارة ( + ) للإشارة لعملية الجمع المنطقي، ويتم استخدام خط صغيرة ( – ) يوضع فوق المتحول، للإشارة لعملية النفي. السبب هنا هو تبسيط إجراء العمليات، وربطها بالذهن أكثر مع عمليات الجبر العادي، إلا أنه يجدر أن نشير أن الرموز الواردة في الجدول هي الرموز الأساسية للعمليات المنطقية في الجبر البولياني، ولا يصح استخدام رموز الجبر العادي ضمن عمليات الجبر البولياني، من حيث المبدأ.

العمليات المشتقة

بناءً على العمليات الأساسية في الجبر البولياني، يمكن أن يتم اشتقاق عمليات أخرى، بحيث تستطيع أن تقوم بتنفيذ مهام أخرى على المعطيات والأرقام الثنائية (البتات). العمليات المشتقة الأساسية في الجبر البولياني (المنطقي) هي:

1- عملية “التضمين Implication”.
2- عملية “الجمع الحصري Exclusive OR” والتي يشار لها غالباً بالاختصار “XOR”.
3- عملية “التكافؤ المنطقي Exclusive NOR” والتي يشار لها غالباً بالاختصار “XNOR”.

الآن، وبالعودة للفرض الأساسي لدينا، وهو متحولين منطقيين (x) و (y)، فإنه يمكننا تعريف العمليات المنطقية المشتقة كما يلي: بالنسبة لتطبيق عملية التضمين على متحولين منطقيين (x) و (y)، فإن ناتج العملية سيأخذ أحد شكلين، فإذا كانت قيمة المتحول (x) هي الواحد، فإن ناتج العملية سيكون قيمة المتحول (y) مهما كانت، وإذا كانت قيمة المتحول (x) هي (0)، فإن ناتج العملية سيكون هو (1).

بالنسبة لعملية “XOR”، فإن ناتج تطبيق عملية XOR على المتحولين المنطقيين (x) و (y) سيكون “1” في حال كانا ذا قيمٍ مختلفة، وسيكون “0” في كان لهما نفس القيمة.

أخيراً، فإن عملية “XNOR” المنطقية تمثل نفي عملية “XOR”، أي أنه يمكننا الحصول على نتيجة العملية عبر نفي نتائج عملية XOR.

الجدول التالي يوضح العمليات المشتقة، ونتائج تطبيقها على المتحولين المنطقيين (x) و (y):

derived-operations-4electron

الشكل (2) – العمليات المنطقية المشتقة ونتائج تطبيقها على المتحولين x و y

بالنسبة للعمليات المشتقة، فإنها حتماً لم تأتي من فراغ، أو من مجرد تأويلاتٍ ممكنة للحالات المختلفة للقيم المنطقية، بل تم التوصل إليها عبر المعادلات الرياضية الخاصة بالجبر البولياني، والجدول التالي، يوضح العبارات الرياضية الخاصة بالعمليات المشتقة، وكيف يمكن صياغتها باستخدام المعاملات الجبرية المنطقية الأساسية، ومعاملات الجبر العادي، وذلك بهدف التبسيط والتقريب من الذهن. يجدر بنا التنويه إلى الجدول يتضمن المعادلات، بحيث تكتب المعادلة بالمرة الأولى وفقاً لصياغة الجبر البولياني، والمرة الثانية نفس المعادلة ولكن باستخدام المعاملات الجبرية العادية. هنالك أمر آخر هام، وهو أن نفي متحول منطقي واحد يتم باستخدام إشارة ( ‘ )، بينما نفي متحولين ضمن قوس، يتم بوضع سطر طويل فوق القوس كاملاً:

mathematical-equations-4electron-logic

الشكل (3) – معادلات العمليات المشتقة في جبر بول

قوانين الجبر البولياني

كما الجبر العادي، فإن الجبر البولياني يتميز أيضاً بالعديد من القوانين التي توضح العمليات بين المتحولات المنطقية البوليانية. مثل الجبر العادي، هنالك قوانين توزيعية وتجميعية للعمليات الأساسية الخاصة بالجبر البولياني، ولن نتطرق لها لأنه يمكن القول عنها أنها عمليات بديهية. ما يهمنا هنا، هو القوانين الخاصة والتي لن يتم مشاهدتها سوى في الجبر البولياني.

ومن أجل أفضل إيضاح ممكن، سنقوم بعرض هذه القوانين في الصورة التوضيحية التالية، والتي سنكتب فيها أيضاً القوانين ضمن صيغتين: الصيغة الأولى بحسب الشكل الأصلي للمعاملات الجبرية في جبر بول، والثانية بحسب المعاملات الجبرية العادية.

laws-boolean-4electron

الشكل (4) – أهم القوانين الخاصة بجبر بول

بالنسبة لقوانين التكميل، فالقانون الأول يعني أن حاصل عملية الضرب المنطقي لمتحول منطقي (x) مع النفي الخاص به سيساوي الصفر، ولفهم القانون أكثر، علينا أن نتذكر أن نقوم بتشبيهه بعملية التقاطع: إذا كان لدينا متحول منطقي (x) قيمته هي “1”، وبالتالي فإن نفي هذا العنصر سيكون ذو قيمةٍ تساوي “0”، وبالتالي لن يتواجد أي شيء مشترك بينهما، أي أن تقاطع هذين المتحولين سيكون مساوياً للصفر.
بالنسبة لقانون التكميل الثاني، فهو يعني أن حاصل عملية الجمع المنطقي لمتحول منطقي (x) مع النفي الخاص به سيساوي الواحد. وبشكلٍ مشابه للقانون الأول، سنتذكر أن عملية الجمع المنطقي تشابه عملية الاجتماع الجبرية، وهي تعني كافة الحدود المشتركة وغير المشتركة بين المتحولين، وبالتالي إذا كان لدينا متحول منطقي (x) قيمته هي “0”، فإن نفيه سيكون ذو قيمة تساوي “1”، وحاصل اجتماعهما سيكون مساوياً للواحد. يمكن الحصول على نفس النتيجة إذا كانت قيمة المتحول (x) هي الواحد.

بالنسبة لقانون النفي المضاعف، فهو سهل جداً من حيث الفهم. لنفرض أن لدينا متحول منطقي (x) قيمته هي الصفر، إذا قمنا بنفيه للمرة الأولى، ستكون النتيجة هي الواحد، وبإجراء نفي ثاني للنتيجة، ستكون النتيجة هي الصفر. بالمختصر، يمكن الحصول على قيمة المتحول نفسها عبر نفيه مرتين.

قوانين دي مورغان De Morgan Laws، هي من أهم قوانين الجبر البولياني، وهي تساهم بشكلٍ كبير بمعرفة ناتج أو خرج البوابات المنطقية الإلكترونية. قانون دي مورغان الأول يعني ما يلي: حاصل عملية الضرب المنطقي لنفي متحولين منطقيين (x) و (y)، سيكون عبارة عن نفي نتيجة الجمع المنطقي للمتحولين. لنفهم القانون أكثر، لنفرض أن قيمة المتحولين هي “0”، وبالتالي فإن قيمة نفي المتحولين ستكون “1”، وأخيراً، فإن ناتج عملية الضرب المنطقي لقيمتين كل منهما “1” فهي “1”. لنأخذ الشطر الثاني من العبارة، ولنتذكر أن قيمة المتحولين هي “0”، وبالتالي فإن ناتج جمعهما منطقياً هي “0”، الآن بأخذ نفي النتيجة، نحصل على “1”، وبالتالي العبارة صحيحة بسبب تساوي طرفيها. يمكن تطبيق الطريقة السابقة عبر إسناد قيمٍ مختلفة للمتحولين (x) و (y) وملاحظة خرج كل طرف من طرفي العبارة. كما يمكن أيضاً البرهان على صحة قانون دي مورغان الثاني بنفس الطريقة أيضاً، أي عبر إسناد قيمٍ مختلفة للمتحولات المنطقية، ومن ثم الحصول على خرج كل طرف من طرفي العبارة، والتي يجب أن تكون متساوية تماماً.

تمثيل عبارات وعمليات جبر بول باستخدام مخططات فين

تعتبر مخططات فين Venn Diagrams من أهم الطرق البيانية التي تستخدم لتوضيح العمليات الجبرية، مثل التقاطع والاجتماع والنفي. وبما أن عبارات الجبر البولياني تتشابه مع هذه المفاهيم، فإنه يمكن أيضاً استخدام مخططات فين من أجل توضيح العبارات والعمليات المنطقية المختلفة.

سنوضح كيف يمكن استخدام مخططات فين من أجل إظهار (3) عمليات منطقية أساسية: عملية الضرب المنطقي، عملية الجمع المنطقي، وعملية النفي المنطقي، وذلك من أجل متحولين منطقيين (x) و (y).

Boolean-Venn-4electron

الشكل (5) – تمثيل عمليات جبر بول باستخدام مخططات فين

التوابع الرياضية في الجبر البولياني

مثل الجبر العادي، فإنه يمكننا كتابة توابع رياضية في الجبر البولياني، وهي تدعى “التوابع المنطقية Logic Functions”. التابع المنطقي هو عبارة رياضية، تصف العلاقة بين عدة متحولات منطقية، بدءاً من العمليات المنطقية الأساسية (الضرب المنطقي، الجمع المنطقي، النفي المنطقي) وصولاً للعمليات المشتقة، وذلك مهما كان عدد المتحولات المنطقية.

بشكلٍ بسيط، يمكن القول أن كافة العمليات الأساسية والمشتقة في الجبر البولياني تمثل توابع منطقية، فهي عبارات تصف العلاقة بين المتحولات المنطقية، ومن خلالها نستطيع معرفة نتيجة ضرب أو جمع متحولين منطقيين، أو أي عملية أخرى.

يرتبط بمفهوم التوابع المنطقية “جدول الحقيقة Truth Table”. جدول الحقيقة هو الجدول الممثل للقيم الممكنة للمتحولات المنطقية المختلفة، وكذلك يظهر لنا نتيجة تطبيق التابع المنطقي الذي يصف العلاقة فيما بينها. لو عدنا للشكل (1) والشكل (2)، فإنهما فعلياً يمثلان جداول حقيقة للمتحولات المنطقية (x) و (y)، حيث يظهرا كل القيم الممكنة لهما، ويظهر أيضاً ناتج تطبيق عمليات الضرب المنطقي، والنفي المنطقي، والجمع المنطقي، وناتج تطبيق العمليات المشتقة، مثل XOR و XNOR على المتحولات المنطقية.

للتوابع المنطقية اعتباراتها الخاصة، والدخول في تفاصيلها يتطلب مواضيعاً مستقلة بنفسها، وهي هامةٌ جداً بمجال توصيف عمل البوابات المنطقية. استعراض المفاهيم الخاصة بالتوابع المنطقية سيتم التطرق له ضمن المواضيع المتعلقة بالبوابات المنطقية، نظراً للارتباط الوثيق بينهم.

الخلاصة

جبر بول، هو مجرد طريقةٌ أخرى للنظر إلى المعطيات والبيانات، وقد ساهم عبر أسسه ومبادئه وعملياته بتقديم الأساس الصلب واللازم للثورة الرقمية، التي تم عبرها ابتكار الحاسوب الرقمي في خمسينيات القرن الماضي، وذلك بعد أن قام العالم الشهير كلود شانون بوضع أسس نظرية المعلومات، ومن ثم ومع انطلاق ثورة أنصاف النواقل على يد وليام شوكلي الذي ابتكر الترانزيستور، أصبح بالإمكان أن يصبح “الحاسوب” حقيقةً واقعية. المعلومات في الحاسوب ترمز اعتماداً على القيمتين المنطقيتين “0” و “1”، وتقوم عبارات الجبر البولياني والتوابع المنطقية بتوصيف عمل البوابات المنطقية الإلكترونية التي تشكل الدارات الحاسوبية، وبالتالي، فإنه لم يكن من الممكن الحصول على ثورتنا الرقمية اليوم، لولا الجبر البولياني وعملياته ومعادلاته.

للمزيد من المصادر:

1- موسوعة ويكيبديا الإنجليزية
2- موسوعة بريتانيكا
3- كتاب “الإلكترونيات العملية للمبتكرين”
4- كتاب “الدارات المنطقية”، تأليف الدكتور أحمد خضور، منشورات كلية الهندسة الميكانيكية والكهربائية، جامعة دمشق

عن ماريو رحال

ماريو رحال
مهندس طبي ومدون تقني. مدير موقع عالم الإلكترون.

3 تعليقات

  1. شرح اكتر من رائع و بسيط .. تسلم ايدك

  2. شرح جداً رائع وبطريقة سهلة ومبسطة، يسلّم إيديك

  3. شرح رائع جدا جدا انا بدرسو بلجامعة وماعم افعمو وهون فهمتو بارك الله فيك عنجد عمل رائع

اضف رد

لن يتم نشر البريد الإلكتروني . الحقول المطلوبة مشار لها بـ *

*

x

‎قد يُعجبك أيضاً

(11) حاسب يتسع براحة يدك!

الحواسيب الشخصية أصبحت محمولة بشكل جنوني! حتّى أنّ بعض الحواسيب المكتبية الموجودة اليوم تجعل الحواسيب ...